RSA概述

(Updated: )

关于RSA再进行一个系统性的复习和学习

原理（维基百科）

假设Alice想要通过不可靠的媒体接收Bob的私人消息。她可以用以下方式来产生一个公钥和一个私钥：

  1. 随机选择两个大的素数p和q， p ≠ q，计算N = pq。
  2. 根据欧拉函数，求得r = φ(N) = φ(p)φ(q) = (p − 1)(q − 1)
  3. 选择一个小于r的整数e，使e与r互质。并求得关于e的模逆元，命名为d (求ed ≡ 1 (mod  r))。(模逆元存在，当且仅当e与r互质)
  4. 将p和q的记录销毁。

(N, e)是公钥，(N, d)是私钥。Alice将她的公钥(N, e)传给Bob，而将她的私钥(N, d)藏起来。

加密消息

假设Bob想给Alice送消息m{m}，他知道Alice产生的N和e。 将明文m按照比特进行分组，确保每一位的m都小于n，然后对每一个分组m进行加密运算 c ≡ me (mod  n) 解密信息

对分组密文进行解密运算 m ≡ cd (mod  n) 正确性证明

  • 第一种情况

ed ≡ 1 (mod  φ(N))

ed = 1 + kφ(N)

med ≡ med − 1 ⋅ m ≡ mkφ(N) ⋅ m ≡ m (mod  N)

  • 第二种情况

    若gcd(m, N) ≠ 1，则m为p或q的整数，设m = hp，有 其中 mk(p − 1)(q − 1) = (mk(p − 1))q − 1 = 1 + xq

共模攻击

我们在对同一个明文中加密时采用的是共同的N，采用不同的公钥e进行加密得到不同的明文 c1 ≡ me1 (mod  n)

c2 ≡ me2 (mod  n)

第一种情况gcd(e1, e2) = 1

通过欧几里得扩展算法我们能得到x, y满足e1x + e2y = 1 ∴ c1x × c2y ≡ me1x + e2y ≡ m (mod  n)

1
m = pow(c1,x,n) * pow(c2,y,n) % n

第一种情况gcd(e1, e2) ≠ 1

同样通过欧几里德扩展算法我们能够得到x, y满足e1x + e2y = s 如果s的值不大，那么就可以直接开方 如果s的很大，那就再当作一次RSA进行计算

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
from Crypto.Util.number import *

flag=b'BaseCTF{}'
m=bytes_to_long(flag)

p=getPrime(1024)
q=getPrime(1024)

n=p*q
e1=3747
e2=2991

c1=pow(m,e1,n)
c2=pow(m,e2,n)

print("n =",n)
print("e1 =",e1)
print("e2 =",e2)
print("c1 =",c1)
print("c2 =",c2)

"""
n = 27855350163093443890983002241607629119744539643165776358993469078731521668677421483556132628708836721737685936980427467856642738196111748018522018598646125626995613169001111504706363742194664774823604738939411512861441742683157275818500991834651769368178320088982759626122029956515159435424882855075032400667120376075618896752694718491438251810609878021717559466498493103257912108879328270813061231904227056671621363669388496383136964549879459562004569059185078204867346250733489663015417879915436157806942021693920206071715538430633494012923651469196048546309592946901609803631751035364478773126967010589504275776307
e1 = 3747
e2 = 2991
c1 = 24426579024062518665031958216110619832653602343205488454298659533869220501923184793828421371206493659949730138867555889074137026401207985428160803910695088081370233571905915349589146504374710444468715701305061060934519410886010929009297226496448218819742287990364436349188987723637449590579092391100714056589967894609950537021838172987840638735592599678186555961654312442380755963257875487240962193060914793587712733601168204859917001269928487633954556221987632934190217367502677285906521385169669644977192556145782303526375491484736352799180747403161343130663661867413380222714012960607473395828938694285120527085083
c2 = 6932145147126610816836065944280934160173362059462927112752295077225965836502881335565881607385328990881865436690904056577675885697508058289570333933837515526915707121125766720407153139160751343352211421901876051228566093038929625042619250168565502734932197817082848506826847112949495527533238122893297049985517280574646627011986403578166952789317461581409161873814203023736604394085875778774834314777046086921852377348590998381648241629124408514875110073073851913857329679268519229436092660959841766848676678740851087184214283196544821779336090434587905158006710112461778939184327386306992082433561460542130441825293
"""

测一下就知道e1和e2不互素 照着解题抄exp即可

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
n = 27855350163093443890983002241607629119744539643165776358993469078731521668677421483556132628708836721737685936980427467856642738196111748018522018598646125626995613169001111504706363742194664774823604738939411512861441742683157275818500991834651769368178320088982759626122029956515159435424882855075032400667120376075618896752694718491438251810609878021717559466498493103257912108879328270813061231904227056671621363669388496383136964549879459562004569059185078204867346250733489663015417879915436157806942021693920206071715538430633494012923651469196048546309592946901609803631751035364478773126967010589504275776307
e1 = 3747
e2 = 2991
c1 = 24426579024062518665031958216110619832653602343205488454298659533869220501923184793828421371206493659949730138867555889074137026401207985428160803910695088081370233571905915349589146504374710444468715701305061060934519410886010929009297226496448218819742287990364436349188987723637449590579092391100714056589967894609950537021838172987840638735592599678186555961654312442380755963257875487240962193060914793587712733601168204859917001269928487633954556221987632934190217367502677285906521385169669644977192556145782303526375491484736352799180747403161343130663661867413380222714012960607473395828938694285120527085083
c2 = 6932145147126610816836065944280934160173362059462927112752295077225965836502881335565881607385328990881865436690904056577675885697508058289570333933837515526915707121125766720407153139160751343352211421901876051228566093038929625042619250168565502734932197817082848506826847112949495527533238122893297049985517280574646627011986403578166952789317461581409161873814203023736604394085875778774834314777046086921852377348590998381648241629124408514875110073073851913857329679268519229436092660959841766848676678740851087184214283196544821779336090434587905158006710112461778939184327386306992082433561460542130441825293

from Crypto.Util.number import *
from gmpy2 import *

s,x,y = gmpy2.gcdext(e1,e2)
m = (pow(c1,x,n)*pow(c2,y,n))%n
print(m)
print(long_to_bytes(iroot(m,s)[0]))#这里得到的是m的gcd(e1,e2)的次方，需要开个根
#BaseCTF{feb7e1ae-a8f7-4fc4-8d6d-945a45cc3f6d}

低加密指数攻击

原理：

加密指数e很小一般是3

第一种情况：me < n则c ≡ me (mod  n) → c = me这种情况下对c开e次方就可以得到m的值

第二种情况：me > n(略大一点点)，则me = k * n + c这种情况需要爆破k

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
def exp(n, e, c):
    k = 0
    while 1:
        m1 = k * n + c
        m, t = gmpy2.iroot(m1, e)
        if t:
            print(m)
            print(k)
            break
        k += 1
exp(n, e, c)

广播攻击

原理 加密指数e非常小 一份明文使用不同的模数n，相同的加密指数e进行多次加密 可以拿到每一份加密后的密文和对应的模数n、加密指数e

第一种解决

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
m = xxxxxxxx
e = 65537
========== n c ==========
n = 20474918894051778533305262345601880928088284471121823754049725354072477155873778848055073843345820697886641086842612486541250183965966001591342031562953561793332341641334302847996108417466360688139866505179689516589305636902137210185624650854906780037204412206309949199080005576922775773722438863762117750429327585792093447423980002401200613302943834212820909269713876683465817369158585822294675056978970612202885426436071950214538262921077409076160417436699836138801162621314845608796870206834704116707763169847387223307828908570944984416973019427529790029089766264949078038669523465243837675263858062854739083634207
c = 974463908243330865728978769213595400782053398596897741316275722596415018912929508637393850919224969271766388710025195039896961956062895570062146947736340342927974992616678893372744261954172873490878805483241196345881721164078651156067119957816422768524442025688079462656755605982104174001635345874022133045402344010045961111720151990412034477755851802769069309069018738541854130183692204758761427121279982002993939745343695671900015296790637464880337375511536424796890996526681200633086841036320395847725935744757993013352804650575068136129295591306569213300156333650910795946800820067494143364885842896291126137320

n = 20918819960648891349438263046954902210959146407860980742165930253781318759285692492511475263234242002509419079545644051755251311392635763412553499744506421566074721268822337321637265942226790343839856182100575539845358877493718334237585821263388181126545189723429262149630651289446553402190531135520836104217160268349688525168375213462570213612845898989694324269410202496871688649978370284661017399056903931840656757330859626183773396574056413017367606446540199973155630466239453637232936904063706551160650295031273385619470740593510267285957905801566362502262757750629162937373721291789527659531499435235261620309759
c = 15819636201971185538694880505120469332582151856714070824521803121848292387556864177196229718923770810072104155432038682511434979353089791861087415144087855679134383396897817458726543883093567600325204596156649305930352575274039425470836355002691145864435755333821133969266951545158052745938252574301327696822347115053614052423028835532509220641378760800693351542633860702225772638930501021571415907348128269681224178300248272689705308911282208685459668200507057183420662959113956077584781737983254788703048275698921427029884282557468334399677849962342196140864403989162117738206246183665814938783122909930082802031855

n = 25033254625906757272369609119214202033162128625171246436639570615263949157363273213121556825878737923265290579551873824374870957467163989542063489416636713654642486717219231225074115269684119428086352535471683359486248203644461465935500517901513233739152882943010177276545128308412934555830087776128355125932914846459470221102007666912211992310538890654396487111705385730502843589727289829692152177134753098649781412247065660637826282055169991824099110916576856188876975621376606634258927784025787142263367152947108720757222446686415627479703666031871635656314282727051189190889008763055811680040315277078928068816491
c = 4185308529416874005831230781014092407198451385955677399668501833902623478395669279404883990725184332709152443372583701076198786635291739356770857286702107156730020004358955622511061410661058982622055199736820808203841446796305284394651714430918690389486920560834672316158146453183789412140939029029324756035358081754426645160033262924330248675216108270980157049705488620263485129480952814764002865280019185127662449318324279383277766416258142275143923532168798413011028271543085249029048997452212503111742302302065401051458066585395360468447460658672952851643547193822775218387853623453638025492389122204507555908862

n = 21206968097314131007183427944486801953583151151443627943113736996776787181111063957960698092696800555044199156765677935373149598221184792286812213294617749834607696302116136745662816658117055427803315230042700695125718401646810484873064775005221089174056824724922160855810527236751389605017579545235876864998419873065217294820244730785120525126565815560229001887622837549118168081685183371092395128598125004730268910276024806808565802081366898904032509920453785997056150497645234925528883879419642189109649009132381586673390027614766605038951015853086721168018787523459264932165046816881682774229243688581614306480751
c = 4521038011044758441891128468467233088493885750850588985708519911154778090597136126150289041893454126674468141393472662337350361712212694867311622970440707727941113263832357173141775855227973742571088974593476302084111770625764222838366277559560887042948859892138551472680654517814916609279748365580610712259856677740518477086531592233107175470068291903607505799432931989663707477017904611426213770238397005743730386080031955694158466558475599751940245039167629126576784024482348452868313417471542956778285567779435940267140679906686531862467627238401003459101637191297209422470388121802536569761414457618258343550613

n = 22822039733049388110936778173014765663663303811791283234361230649775805923902173438553927805407463106104699773994158375704033093471761387799852168337898526980521753614307899669015931387819927421875316304591521901592823814417756447695701045846773508629371397013053684553042185725059996791532391626429712416994990889693732805181947970071429309599614973772736556299404246424791660679253884940021728846906344198854779191951739719342908761330661910477119933428550774242910420952496929605686154799487839923424336353747442153571678064520763149793294360787821751703543288696726923909670396821551053048035619499706391118145067
c = 15406498580761780108625891878008526815145372096234083936681442225155097299264808624358826686906535594853622687379268969468433072388149786607395396424104318820879443743112358706546753935215756078345959375299650718555759698887852318017597503074317356745122514481807843745626429797861463012940172797612589031686718185390345389295851075279278516147076602270178540690147808314172798987497259330037810328523464851895621851859027823681655934104713689539848047163088666896473665500158179046196538210778897730209572708430067658411755959866033531700460551556380993982706171848970460224304996455600503982223448904878212849412357

n = 21574139855341432908474064784318462018475296809327285532337706940126942575349507668289214078026102682252713757703081553093108823214063791518482289846780197329821139507974763780260290309600884920811959842925540583967085670848765317877441480914852329276375776405689784571404635852204097622600656222714808541872252335877037561388406257181715278766652824786376262249274960467193961956690974853679795249158751078422296580367506219719738762159965958877806187461070689071290948181949561254144310776943334859775121650186245846031720507944987838489723127897223416802436021278671237227993686791944711422345000479751187704426369
c = 20366856150710305124583065375297661819795242238376485264951185336996083744604593418983336285185491197426018595031444652123288461491879021096028203694136683203441692987069563513026001861435722117985559909692670907347563594578265880806540396777223906955491026286843168637367593400342814725694366078337030937104035993569672959361347287894143027186846856772983058328919716702982222142848848117768499996617588305301483085428547267337070998767412540225911508196842253134355901263861121500650240296746702967594224401650220168780537141654489215019142122284308116284129004257364769474080721001708734051264841350424152506027932

n = 25360227412666612490102161131174584819240931803196448481224305250583841439581008528535930814167338381983764991296575637231916547647970573758269411168219302370541684789125112505021148506809643081950237623703181025696585998044695691322012183660424636496897073045557400768745943787342548267386564625462143150176113656264450210023925571945961405709276631990731602198104287528528055650050486159837612279600415259486306154947514005408907590083747758953115486124865486720633820559135063440942528031402951958557630833503775112010715604278114325528993771081233535247118481765852273252404963430792898948219539473312462979849137
c = 19892772524651452341027595619482734356243435671592398172680379981502759695784087900669089919987705675899945658648623800090272599154590123082189645021800958076861518397325439521139995652026377132368232502108620033400051346127757698623886142621793423225749240286511666556091787851683978017506983310073524398287279737680091787333547538239920607761080988243639547570818363788673249582783015475682109984715293163137324439862838574460108793714172603672477766831356411304446881998674779501188163600664488032943639694828698984739492200699684462748922883550002652913518229322945040819064133350314536378694523704793396169065179

n = 22726855244632356029159691753451822163331519237547639938779517751496498713174588935566576167329576494790219360727877166074136496129927296296996970048082870488804456564986667129388136556137013346228118981936899510687589585286517151323048293150257036847475424044378109168179412287889340596394755257704938006162677656581509375471102546261355748251869048003600520034656264521931808651038524134185732929570384705918563982065684145766427962502261522481994191989820110575981906998431553107525542001187655703534683231777988419268338249547641335718393312295800044734534761692799403469497954062897856299031257454735945867491191
c = 6040119795175856407541082360023532204614723858688636724822712717572759793960246341800308149739809871234313049629732934797569781053000686185666374833978403290525072598774001731350244744590772795701065129561898116576499984185920661271123665356132719193665474235596884239108030605882777868856122378222681140570519180321286976947154042272622411303981011302586225630859892731724640574658125478287115198406253847367979883768000812605395482952698689604477719478947595442185921480652637868335673233200662100621025061500895729605305665864693122952557361871523165300206070325660353095592778037767395360329231331322823610060006

n = 23297333791443053297363000786835336095252290818461950054542658327484507406594632785712767459958917943095522594228205423428207345128899745800927319147257669773812669542782839237744305180098276578841929496345963997512244219376701787616046235397139381894837435562662591060768476997333538748065294033141610502252325292801816812268934171361934399951548627267791401089703937389012586581080223313060159456238857080740699528666411303029934807011214953984169785844714159627792016926490955282697877141614638806397689306795328344778478692084754216753425842557818899467945102646776342655167655384224860504086083147841252232760941
c = 5418120301208378713115889465579964257871814114515046096090960159737859076829258516920361577853903925954198406843757303687557848302302200229295916902430205737843601806700738234756698575708612424928480440868739120075888681672062206529156566421276611107802917418993625029690627196813830326369874249777619239603300605876865967515719079797115910578653562787899019310139945904958024882417833736304894765433489476234575356755275147256577387022873348906900149634940747104513850154118106991137072643308620284663108283052245750945228995387803432128842152251549292698947407663643895853432650029352092018372834457054271102816934

n = 28873667904715682722987234293493200306976947898711255064125115933666968678742598858722431426218914462903521596341771131695619382266194233561677824357379805303885993804266436810606263022097900266975250431575654686915049693091467864820512767070713267708993899899011156106766178906700336111712803362113039613548672937053397875663144794018087017731949087794894903737682383916173267421403408140967713071026001874733487295007501068871044649170615709891451856792232315526696220161842742664778581287321318748202431466508948902745314372299799561625186955234673012098210919745879882268512656931714326782335211089576897310591491
c = 9919880463786836684987957979091527477471444996392375244075527841865509160181666543016317634963512437510324198702416322841377489417029572388474450075801462996825244657530286107428186354172836716502817609070590929769261932324275353289939302536440310628698349244872064005700644520223727670950787924296004296883032978941200883362653993351638545860207179022472492671256630427228461852668118035317021428675954874947015197745916918197725121122236369382741533983023462255913924692806249387449016629865823316402366017657844166919846683497851842388058283856219900535567427103603869955066193425501385255322097901531402103883869

n = 22324685947539653722499932469409607533065419157347813961958075689047690465266404384199483683908594787312445528159635527833904475801890381455653807265501217328757871352731293000303438205315816792663917579066674842307743845261771032363928568844669895768092515658328756229245837025261744260614860746997931503548788509983868038349720225305730985576293675269073709022350700836510054067641753713212999954307022524495885583361707378513742162566339010134354907863733205921845038918224463903789841881400814074587261720283879760122070901466517118265422863420376921536734845502100251460872499122236686832189549698020737176683019
c = 1491527050203294989882829248560395184804977277747126143103957219164624187528441047837351263580440686474767380464005540264627910126483129930668344095814547592115061057843470131498075060420395111008619027199037019925701236660166563068245683975787762804359520164701691690916482591026138582705558246869496162759780878437137960823000043988227303003876410503121370163303711603359430764539337597866862508451528158285103251810058741879687875218384160282506172706613359477657215420734816049393339593755489218588796607060261897905233453268671411610631047340459487937479511933450369462213795738933019001471803157607791738538467

n = 27646746423759020111007828653264027999257847645666129907789026054594393648800236117046769112762641778865620892443423100189619327585811384883515424918752749559627553637785037359639801125213256163008431942593727931931898199727552768626775618479833029101249692573716030706695702510982283555740851047022672485743432464647772882314215176114732257497240284164016914018689044557218920300262234652840632406067273375269301008409860193180822366735877288205783314326102263756503786736122321348320031950012144905869556204017430593656052867939493633163499580242224763404338807022510136217187779084917996171602737036564991036724299
c = 21991524128957260536043771284854920393105808126700128222125856775506885721971193109361315961129190814674647136464887087893990660894961612838205086401018885457667488911898654270235561980111174603323721280911197488286585269356849579263043456316319476495888696219344219866516861187654180509247881251251278919346267129904739277386289240394384575124331135655943513831009934023397457082184699737734388823763306805326430395849935770213817533387235486307008892410920611669932693018165569417445885810825749609388627231235840912644654685819620931663346297596334834498661789016450371769203650109994771872404185770230172934013971

n = 20545487405816928731738988374475012686827933709789784391855706835136270270933401203019329136937650878386117187776530639342572123237188053978622697282521473917978282830432161153221216194169879669541998840691383025487220850872075436064308499924958517979727954402965612196081404341651517326364041519250125036424822634354268773895465698920883439222996581226358595873993976604699830613932320720554130011671297944433515047180565484495191003887599891289037982010216357831078328159028953222056918189365840711588671093333013117454034313622855082795813122338562446223041211192277089225078324682108033843023903550172891959673551
c = 14227439188191029461250476692790539654619199888487319429114414557975376308688908028140817157205579804059783807641305577385724758530138514972962209062230576107406142402603484375626077345190883094097636019771377866339531511965136650567412363889183159616188449263752475328663245311059988337996047359263288837436305588848044572937759424466586870280512424336807064729894515840552404756879590698797046333336445465120445087587621743906624279621779634772378802959109714400516183718323267273824736540168545946444437586299214110424738159957388350785999348535171553569373088251552712391288365295267665691357719616011613628772175

n = 27359727711584277234897157724055852794019216845229798938655814269460046384353568138598567755392559653460949444557879120040796798142218939251844762461270251672399546774067275348291003962551964648742053215424620256999345448398805278592777049668281558312871773979931343097806878701114056030041506690476954254006592555275342579529625231194321357904668512121539514880704046969974898412095675082585315458267591016734924646294357666924293908418345508902112711075232047998775303603175363964055048589769318562104883659754974955561725694779754279606726358588862479198815999276839234952142017210593887371950645418417355912567987
c = 3788529784248255027081674540877016372807848222776887920453488878247137930578296797437647922494510483767651150492933356093288965943741570268943861987024276610712717409139946409513963043114463933146088430004237747163422802959250296602570649363016151581364006795894226599584708072582696996740518887606785460775851029814280359385763091078902301957226484620428513604630585131511167015763190591225884202772840456563643159507805711004113901417503751181050823638207803533111429510911616160851391754754434764819568054850823810901159821297849790005646102129354035735350124476838786661542089045509656910348676742844957008857457

n = 27545937603751737248785220891735796468973329738076209144079921449967292572349424539010502287564030116831261268197384650511043068738911429169730640135947800885987171539267214611907687570587001933829208655100828045651391618089603288456570334500533178695238407684702251252671579371018651675054368606282524673369983034682330578308769886456335818733827237294570476853673552685361689144261552895758266522393004116017849397346259119221063821663280935820440671825601452417487330105280889520007917979115568067161590058277418371493228631232457972494285014767469893647892888681433965857496916110704944758070268626897045014782837
c = 14069112970608895732417039977542732665796601893762401500878786871680645798754783315693511261740059725171342404186571066972546332813667711135661176659424619936101038903439144294886379322591635766682645179888058617577572409307484708171144488708410543462972008179994594087473935638026612679389759756811490524127195628741262871304427908481214992471182859308828778119005750928935764927967212343526503410515793717201360360437981322576798056276657140363332700714732224848346808963992302409037706094588964170239521193589470070839790404597252990818583717869140229811712295005710540476356743378906642267045723633874011649259842

n = 25746162075697911560263181791216433062574178572424600336856278176112733054431463253903433128232709054141607100891177804285813783247735063753406524678030561284491481221681954564804141454666928657549670266775659862814924386584148785453647316864935942772919140563506305666207816897601862713092809234429096584753263707828899780979223118181009293655563146526792388913462557306433664296966331469906428665127438829399703002867800269947855869262036714256550075520193125987011945192273531732276641728008406855871598678936585324782438668746810516660152018244253008092470066555687277138937298747951929576231036251316270602513451
c = 17344284860275489477491525819922855326792275128719709401292545608122859829827462088390044612234967551682879954301458425842831995513832410355328065562098763660326163262033200347338773439095709944202252494552172589503915965931524326523663289777583152664722241920800537867331030623906674081852296232306336271542832728410803631170229642717524942332390842467035143631504401140727083270732464237443915263865880580308776111219718961746378842924644142127243573824972533819479079381023103585862099063382129757560124074676150622288706094110075567706403442920696472627797607697962873026112240527498308535903232663939028587036724

n = 23288486934117120315036919418588136227028485494137930196323715336208849327833965693894670567217971727921243839129969128783853015760155446770590696037582684845937132790047363216362087277861336964760890214059732779383020349204803205725870225429985939570141508220041286857810048164696707018663758416807708910671477407366098883430811861933014973409390179948577712579749352299440310543689035651465399867908428885541237776143404376333442949397063249223702355051571790555151203866821867908531733788784978667478707672984539512431549558672467752712004519300318999208102076732501412589104904734983789895358753664077486894529499
c = 10738254418114076548071448844964046468141621740603214384986354189105236977071001429271560636428075970459890958274941762528116445171161040040833357876134689749846940052619392750394683504816081193432350669452446113285638982551762586656329109007214019944975816434827768882704630460001209452239162896576191876324662333153835533956600295255158377025198426950944040643235430211011063586032467724329735785947372051759042138171054165854842472990583800899984893232549092766400510300083585513014171220423103452292891496141806956300396540682381668367564569427813092064053993103537635994311143010708814851867239706492577203899024

n = 19591441383958529435598729113936346657001352578357909347657257239777540424811749817783061233235817916560689138344041497732749011519736303038986277394036718790971374656832741054547056417771501234494768509780369075443550907847298246275717420562375114406055733620258777905222169702036494045086017381084272496162770259955811174440490126514747876661317750649488774992348005044389081101686016446219264069971370646319546429782904810063020324704138495608761532563310699753322444871060383693044481932265801505819646998535192083036872551683405766123968487907648980900712118052346174533513978009131757167547595857552370586353973
c = 3834917098887202931981968704659119341624432294759361919553937551053499607440333234018189141970246302299385742548278589896033282894981200353270637127213483172182529890495903425649116755901631101665876301799865612717750360089085179142750664603454193642053016384714515855868368723508922271767190285521137785688075622832924829248362774476456232826885801046969384519549385428259591566716890844604696258783639390854153039329480726205147199247183621535172450825979047132495439603840806501254997167051142427157381799890725323765558803808030109468048682252028720241357478614704610089120810367192414352034177484688502364022887

n = 19254242571588430171308191757871261075358521158624745702744057556054652332495961196795369630484782930292003238730267396462491733557715379956969694238267908985251699834707734400775311452868924330866502429576951934279223234676654749272932769107390976321208605516299532560054081301829440688796904635446986081691156842271268059970762004259219036753174909942343204432795076377432107630203621754552804124408792358220071862369443201584155711893388877350138023238624566616551246804054720492816226651467017802504094070614892556444425915920269485861799532473383304622064493223627552558344088839860178294589481899206318863310603
c = 6790553533991297205804561991225493105312398825187682250780197510784765226429663284220400480563039341938599783346724051076211265663468643826430109013245014035811178295081939958687087477312867720289964506097819762095244479129359998867671811819738196687884696680463458661374310994610760009474264115750204920875527434486437536623589684519411519100170291423367424938566820315486507444202022408003879118465761273916755290898112991525546114191064022991329724370064632569903856189236177894007766690782630247443895358893983735822824243487181851098787271270256780891094405121947631088729917398317652320497765101790132679171889

n = 26809700251171279102974962949184411136459372267620535198421449833298448092580497485301953796619185339316064387798092220298630428207556482805739803420279056191194360049651767412572609187680508073074653291350998253938793269214230457117194434853888765303403385824786231859450351212449404870776320297419712486574804794325602760347306432927281716160368830187944940128907971027838510079519466846176106565164730963988892400240063089397720414921398936399927948235195085202171264728816184532651138221862240969655185596628285814057082448321749567943946273776184657698104465062749244327092588237927996419620170254423837876806659
c = 386213556608434013769864727123879412041991271528990528548507451210692618986652870424632219424601677524265011043146748309774067894985069288067952546139416819404039688454756044862784630882833496090822568580572859029800646671301748901528132153712913301179254879877441322285914544974519727307311002330350534857867516466612474769753577858660075830592891403551867246057397839688329172530177187042229028685862036140779065771061933528137423019407311473581832405899089709251747002788032002094495379614686544672969073249309703482556386024622814731015767810042969813752548617464974915714425595351940266077021672409858645427346


每两个n求一次公约数，看看是否有不为1的一组n，如果有的话，p就是这个公约数

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
from Crypto.Util.number import *
e = 65537
n0 = 20474918894051778533305262345601880928088284471121823754049725354072477155873778848055073843345820697886641086842612486541250183965966001591342031562953561793332341641334302847996108417466360688139866505179689516589305636902137210185624650854906780037204412206309949199080005576922775773722438863762117750429327585792093447423980002401200613302943834212820909269713876683465817369158585822294675056978970612202885426436071950214538262921077409076160417436699836138801162621314845608796870206834704116707763169847387223307828908570944984416973019427529790029089766264949078038669523465243837675263858062854739083634207
c0 = 974463908243330865728978769213595400782053398596897741316275722596415018912929508637393850919224969271766388710025195039896961956062895570062146947736340342927974992616678893372744261954172873490878805483241196345881721164078651156067119957816422768524442025688079462656755605982104174001635345874022133045402344010045961111720151990412034477755851802769069309069018738541854130183692204758761427121279982002993939745343695671900015296790637464880337375511536424796890996526681200633086841036320395847725935744757993013352804650575068136129295591306569213300156333650910795946800820067494143364885842896291126137320

n1 = 20918819960648891349438263046954902210959146407860980742165930253781318759285692492511475263234242002509419079545644051755251311392635763412553499744506421566074721268822337321637265942226790343839856182100575539845358877493718334237585821263388181126545189723429262149630651289446553402190531135520836104217160268349688525168375213462570213612845898989694324269410202496871688649978370284661017399056903931840656757330859626183773396574056413017367606446540199973155630466239453637232936904063706551160650295031273385619470740593510267285957905801566362502262757750629162937373721291789527659531499435235261620309759
c1 = 15819636201971185538694880505120469332582151856714070824521803121848292387556864177196229718923770810072104155432038682511434979353089791861087415144087855679134383396897817458726543883093567600325204596156649305930352575274039425470836355002691145864435755333821133969266951545158052745938252574301327696822347115053614052423028835532509220641378760800693351542633860702225772638930501021571415907348128269681224178300248272689705308911282208685459668200507057183420662959113956077584781737983254788703048275698921427029884282557468334399677849962342196140864403989162117738206246183665814938783122909930082802031855

n2 = 25033254625906757272369609119214202033162128625171246436639570615263949157363273213121556825878737923265290579551873824374870957467163989542063489416636713654642486717219231225074115269684119428086352535471683359486248203644461465935500517901513233739152882943010177276545128308412934555830087776128355125932914846459470221102007666912211992310538890654396487111705385730502843589727289829692152177134753098649781412247065660637826282055169991824099110916576856188876975621376606634258927784025787142263367152947108720757222446686415627479703666031871635656314282727051189190889008763055811680040315277078928068816491
c2 = 4185308529416874005831230781014092407198451385955677399668501833902623478395669279404883990725184332709152443372583701076198786635291739356770857286702107156730020004358955622511061410661058982622055199736820808203841446796305284394651714430918690389486920560834672316158146453183789412140939029029324756035358081754426645160033262924330248675216108270980157049705488620263485129480952814764002865280019185127662449318324279383277766416258142275143923532168798413011028271543085249029048997452212503111742302302065401051458066585395360468447460658672952851643547193822775218387853623453638025492389122204507555908862

n3 = 21206968097314131007183427944486801953583151151443627943113736996776787181111063957960698092696800555044199156765677935373149598221184792286812213294617749834607696302116136745662816658117055427803315230042700695125718401646810484873064775005221089174056824724922160855810527236751389605017579545235876864998419873065217294820244730785120525126565815560229001887622837549118168081685183371092395128598125004730268910276024806808565802081366898904032509920453785997056150497645234925528883879419642189109649009132381586673390027614766605038951015853086721168018787523459264932165046816881682774229243688581614306480751
c3 = 4521038011044758441891128468467233088493885750850588985708519911154778090597136126150289041893454126674468141393472662337350361712212694867311622970440707727941113263832357173141775855227973742571088974593476302084111770625764222838366277559560887042948859892138551472680654517814916609279748365580610712259856677740518477086531592233107175470068291903607505799432931989663707477017904611426213770238397005743730386080031955694158466558475599751940245039167629126576784024482348452868313417471542956778285567779435940267140679906686531862467627238401003459101637191297209422470388121802536569761414457618258343550613

n4 = 22822039733049388110936778173014765663663303811791283234361230649775805923902173438553927805407463106104699773994158375704033093471761387799852168337898526980521753614307899669015931387819927421875316304591521901592823814417756447695701045846773508629371397013053684553042185725059996791532391626429712416994990889693732805181947970071429309599614973772736556299404246424791660679253884940021728846906344198854779191951739719342908761330661910477119933428550774242910420952496929605686154799487839923424336353747442153571678064520763149793294360787821751703543288696726923909670396821551053048035619499706391118145067
c4 = 15406498580761780108625891878008526815145372096234083936681442225155097299264808624358826686906535594853622687379268969468433072388149786607395396424104318820879443743112358706546753935215756078345959375299650718555759698887852318017597503074317356745122514481807843745626429797861463012940172797612589031686718185390345389295851075279278516147076602270178540690147808314172798987497259330037810328523464851895621851859027823681655934104713689539848047163088666896473665500158179046196538210778897730209572708430067658411755959866033531700460551556380993982706171848970460224304996455600503982223448904878212849412357

n5 = 21574139855341432908474064784318462018475296809327285532337706940126942575349507668289214078026102682252713757703081553093108823214063791518482289846780197329821139507974763780260290309600884920811959842925540583967085670848765317877441480914852329276375776405689784571404635852204097622600656222714808541872252335877037561388406257181715278766652824786376262249274960467193961956690974853679795249158751078422296580367506219719738762159965958877806187461070689071290948181949561254144310776943334859775121650186245846031720507944987838489723127897223416802436021278671237227993686791944711422345000479751187704426369
c5 = 20366856150710305124583065375297661819795242238376485264951185336996083744604593418983336285185491197426018595031444652123288461491879021096028203694136683203441692987069563513026001861435722117985559909692670907347563594578265880806540396777223906955491026286843168637367593400342814725694366078337030937104035993569672959361347287894143027186846856772983058328919716702982222142848848117768499996617588305301483085428547267337070998767412540225911508196842253134355901263861121500650240296746702967594224401650220168780537141654489215019142122284308116284129004257364769474080721001708734051264841350424152506027932

n6 = 25360227412666612490102161131174584819240931803196448481224305250583841439581008528535930814167338381983764991296575637231916547647970573758269411168219302370541684789125112505021148506809643081950237623703181025696585998044695691322012183660424636496897073045557400768745943787342548267386564625462143150176113656264450210023925571945961405709276631990731602198104287528528055650050486159837612279600415259486306154947514005408907590083747758953115486124865486720633820559135063440942528031402951958557630833503775112010715604278114325528993771081233535247118481765852273252404963430792898948219539473312462979849137
c6 = 19892772524651452341027595619482734356243435671592398172680379981502759695784087900669089919987705675899945658648623800090272599154590123082189645021800958076861518397325439521139995652026377132368232502108620033400051346127757698623886142621793423225749240286511666556091787851683978017506983310073524398287279737680091787333547538239920607761080988243639547570818363788673249582783015475682109984715293163137324439862838574460108793714172603672477766831356411304446881998674779501188163600664488032943639694828698984739492200699684462748922883550002652913518229322945040819064133350314536378694523704793396169065179

n7 = 22726855244632356029159691753451822163331519237547639938779517751496498713174588935566576167329576494790219360727877166074136496129927296296996970048082870488804456564986667129388136556137013346228118981936899510687589585286517151323048293150257036847475424044378109168179412287889340596394755257704938006162677656581509375471102546261355748251869048003600520034656264521931808651038524134185732929570384705918563982065684145766427962502261522481994191989820110575981906998431553107525542001187655703534683231777988419268338249547641335718393312295800044734534761692799403469497954062897856299031257454735945867491191
c7 = 6040119795175856407541082360023532204614723858688636724822712717572759793960246341800308149739809871234313049629732934797569781053000686185666374833978403290525072598774001731350244744590772795701065129561898116576499984185920661271123665356132719193665474235596884239108030605882777868856122378222681140570519180321286976947154042272622411303981011302586225630859892731724640574658125478287115198406253847367979883768000812605395482952698689604477719478947595442185921480652637868335673233200662100621025061500895729605305665864693122952557361871523165300206070325660353095592778037767395360329231331322823610060006

n8 = 23297333791443053297363000786835336095252290818461950054542658327484507406594632785712767459958917943095522594228205423428207345128899745800927319147257669773812669542782839237744305180098276578841929496345963997512244219376701787616046235397139381894837435562662591060768476997333538748065294033141610502252325292801816812268934171361934399951548627267791401089703937389012586581080223313060159456238857080740699528666411303029934807011214953984169785844714159627792016926490955282697877141614638806397689306795328344778478692084754216753425842557818899467945102646776342655167655384224860504086083147841252232760941
c8 = 5418120301208378713115889465579964257871814114515046096090960159737859076829258516920361577853903925954198406843757303687557848302302200229295916902430205737843601806700738234756698575708612424928480440868739120075888681672062206529156566421276611107802917418993625029690627196813830326369874249777619239603300605876865967515719079797115910578653562787899019310139945904958024882417833736304894765433489476234575356755275147256577387022873348906900149634940747104513850154118106991137072643308620284663108283052245750945228995387803432128842152251549292698947407663643895853432650029352092018372834457054271102816934

n9 = 28873667904715682722987234293493200306976947898711255064125115933666968678742598858722431426218914462903521596341771131695619382266194233561677824357379805303885993804266436810606263022097900266975250431575654686915049693091467864820512767070713267708993899899011156106766178906700336111712803362113039613548672937053397875663144794018087017731949087794894903737682383916173267421403408140967713071026001874733487295007501068871044649170615709891451856792232315526696220161842742664778581287321318748202431466508948902745314372299799561625186955234673012098210919745879882268512656931714326782335211089576897310591491
c9 = 9919880463786836684987957979091527477471444996392375244075527841865509160181666543016317634963512437510324198702416322841377489417029572388474450075801462996825244657530286107428186354172836716502817609070590929769261932324275353289939302536440310628698349244872064005700644520223727670950787924296004296883032978941200883362653993351638545860207179022472492671256630427228461852668118035317021428675954874947015197745916918197725121122236369382741533983023462255913924692806249387449016629865823316402366017657844166919846683497851842388058283856219900535567427103603869955066193425501385255322097901531402103883869

n10 = 22324685947539653722499932469409607533065419157347813961958075689047690465266404384199483683908594787312445528159635527833904475801890381455653807265501217328757871352731293000303438205315816792663917579066674842307743845261771032363928568844669895768092515658328756229245837025261744260614860746997931503548788509983868038349720225305730985576293675269073709022350700836510054067641753713212999954307022524495885583361707378513742162566339010134354907863733205921845038918224463903789841881400814074587261720283879760122070901466517118265422863420376921536734845502100251460872499122236686832189549698020737176683019
c10 = 1491527050203294989882829248560395184804977277747126143103957219164624187528441047837351263580440686474767380464005540264627910126483129930668344095814547592115061057843470131498075060420395111008619027199037019925701236660166563068245683975787762804359520164701691690916482591026138582705558246869496162759780878437137960823000043988227303003876410503121370163303711603359430764539337597866862508451528158285103251810058741879687875218384160282506172706613359477657215420734816049393339593755489218588796607060261897905233453268671411610631047340459487937479511933450369462213795738933019001471803157607791738538467

n11 = 27646746423759020111007828653264027999257847645666129907789026054594393648800236117046769112762641778865620892443423100189619327585811384883515424918752749559627553637785037359639801125213256163008431942593727931931898199727552768626775618479833029101249692573716030706695702510982283555740851047022672485743432464647772882314215176114732257497240284164016914018689044557218920300262234652840632406067273375269301008409860193180822366735877288205783314326102263756503786736122321348320031950012144905869556204017430593656052867939493633163499580242224763404338807022510136217187779084917996171602737036564991036724299
c11 = 21991524128957260536043771284854920393105808126700128222125856775506885721971193109361315961129190814674647136464887087893990660894961612838205086401018885457667488911898654270235561980111174603323721280911197488286585269356849579263043456316319476495888696219344219866516861187654180509247881251251278919346267129904739277386289240394384575124331135655943513831009934023397457082184699737734388823763306805326430395849935770213817533387235486307008892410920611669932693018165569417445885810825749609388627231235840912644654685819620931663346297596334834498661789016450371769203650109994771872404185770230172934013971

n12 = 20545487405816928731738988374475012686827933709789784391855706835136270270933401203019329136937650878386117187776530639342572123237188053978622697282521473917978282830432161153221216194169879669541998840691383025487220850872075436064308499924958517979727954402965612196081404341651517326364041519250125036424822634354268773895465698920883439222996581226358595873993976604699830613932320720554130011671297944433515047180565484495191003887599891289037982010216357831078328159028953222056918189365840711588671093333013117454034313622855082795813122338562446223041211192277089225078324682108033843023903550172891959673551
c12 = 14227439188191029461250476692790539654619199888487319429114414557975376308688908028140817157205579804059783807641305577385724758530138514972962209062230576107406142402603484375626077345190883094097636019771377866339531511965136650567412363889183159616188449263752475328663245311059988337996047359263288837436305588848044572937759424466586870280512424336807064729894515840552404756879590698797046333336445465120445087587621743906624279621779634772378802959109714400516183718323267273824736540168545946444437586299214110424738159957388350785999348535171553569373088251552712391288365295267665691357719616011613628772175

n13 = 27359727711584277234897157724055852794019216845229798938655814269460046384353568138598567755392559653460949444557879120040796798142218939251844762461270251672399546774067275348291003962551964648742053215424620256999345448398805278592777049668281558312871773979931343097806878701114056030041506690476954254006592555275342579529625231194321357904668512121539514880704046969974898412095675082585315458267591016734924646294357666924293908418345508902112711075232047998775303603175363964055048589769318562104883659754974955561725694779754279606726358588862479198815999276839234952142017210593887371950645418417355912567987
c13 = 3788529784248255027081674540877016372807848222776887920453488878247137930578296797437647922494510483767651150492933356093288965943741570268943861987024276610712717409139946409513963043114463933146088430004237747163422802959250296602570649363016151581364006795894226599584708072582696996740518887606785460775851029814280359385763091078902301957226484620428513604630585131511167015763190591225884202772840456563643159507805711004113901417503751181050823638207803533111429510911616160851391754754434764819568054850823810901159821297849790005646102129354035735350124476838786661542089045509656910348676742844957008857457

n14 = 27545937603751737248785220891735796468973329738076209144079921449967292572349424539010502287564030116831261268197384650511043068738911429169730640135947800885987171539267214611907687570587001933829208655100828045651391618089603288456570334500533178695238407684702251252671579371018651675054368606282524673369983034682330578308769886456335818733827237294570476853673552685361689144261552895758266522393004116017849397346259119221063821663280935820440671825601452417487330105280889520007917979115568067161590058277418371493228631232457972494285014767469893647892888681433965857496916110704944758070268626897045014782837
c14 = 14069112970608895732417039977542732665796601893762401500878786871680645798754783315693511261740059725171342404186571066972546332813667711135661176659424619936101038903439144294886379322591635766682645179888058617577572409307484708171144488708410543462972008179994594087473935638026612679389759756811490524127195628741262871304427908481214992471182859308828778119005750928935764927967212343526503410515793717201360360437981322576798056276657140363332700714732224848346808963992302409037706094588964170239521193589470070839790404597252990818583717869140229811712295005710540476356743378906642267045723633874011649259842

n15 = 25746162075697911560263181791216433062574178572424600336856278176112733054431463253903433128232709054141607100891177804285813783247735063753406524678030561284491481221681954564804141454666928657549670266775659862814924386584148785453647316864935942772919140563506305666207816897601862713092809234429096584753263707828899780979223118181009293655563146526792388913462557306433664296966331469906428665127438829399703002867800269947855869262036714256550075520193125987011945192273531732276641728008406855871598678936585324782438668746810516660152018244253008092470066555687277138937298747951929576231036251316270602513451
c15 = 17344284860275489477491525819922855326792275128719709401292545608122859829827462088390044612234967551682879954301458425842831995513832410355328065562098763660326163262033200347338773439095709944202252494552172589503915965931524326523663289777583152664722241920800537867331030623906674081852296232306336271542832728410803631170229642717524942332390842467035143631504401140727083270732464237443915263865880580308776111219718961746378842924644142127243573824972533819479079381023103585862099063382129757560124074676150622288706094110075567706403442920696472627797607697962873026112240527498308535903232663939028587036724

n16 = 23288486934117120315036919418588136227028485494137930196323715336208849327833965693894670567217971727921243839129969128783853015760155446770590696037582684845937132790047363216362087277861336964760890214059732779383020349204803205725870225429985939570141508220041286857810048164696707018663758416807708910671477407366098883430811861933014973409390179948577712579749352299440310543689035651465399867908428885541237776143404376333442949397063249223702355051571790555151203866821867908531733788784978667478707672984539512431549558672467752712004519300318999208102076732501412589104904734983789895358753664077486894529499
c16 = 10738254418114076548071448844964046468141621740603214384986354189105236977071001429271560636428075970459890958274941762528116445171161040040833357876134689749846940052619392750394683504816081193432350669452446113285638982551762586656329109007214019944975816434827768882704630460001209452239162896576191876324662333153835533956600295255158377025198426950944040643235430211011063586032467724329735785947372051759042138171054165854842472990583800899984893232549092766400510300083585513014171220423103452292891496141806956300396540682381668367564569427813092064053993103537635994311143010708814851867239706492577203899024

n17 = 19591441383958529435598729113936346657001352578357909347657257239777540424811749817783061233235817916560689138344041497732749011519736303038986277394036718790971374656832741054547056417771501234494768509780369075443550907847298246275717420562375114406055733620258777905222169702036494045086017381084272496162770259955811174440490126514747876661317750649488774992348005044389081101686016446219264069971370646319546429782904810063020324704138495608761532563310699753322444871060383693044481932265801505819646998535192083036872551683405766123968487907648980900712118052346174533513978009131757167547595857552370586353973
c17 = 3834917098887202931981968704659119341624432294759361919553937551053499607440333234018189141970246302299385742548278589896033282894981200353270637127213483172182529890495903425649116755901631101665876301799865612717750360089085179142750664603454193642053016384714515855868368723508922271767190285521137785688075622832924829248362774476456232826885801046969384519549385428259591566716890844604696258783639390854153039329480726205147199247183621535172450825979047132495439603840806501254997167051142427157381799890725323765558803808030109468048682252028720241357478614704610089120810367192414352034177484688502364022887

n18 = 19254242571588430171308191757871261075358521158624745702744057556054652332495961196795369630484782930292003238730267396462491733557715379956969694238267908985251699834707734400775311452868924330866502429576951934279223234676654749272932769107390976321208605516299532560054081301829440688796904635446986081691156842271268059970762004259219036753174909942343204432795076377432107630203621754552804124408792358220071862369443201584155711893388877350138023238624566616551246804054720492816226651467017802504094070614892556444425915920269485861799532473383304622064493223627552558344088839860178294589481899206318863310603
c18 = 6790553533991297205804561991225493105312398825187682250780197510784765226429663284220400480563039341938599783346724051076211265663468643826430109013245014035811178295081939958687087477312867720289964506097819762095244479129359998867671811819738196687884696680463458661374310994610760009474264115750204920875527434486437536623589684519411519100170291423367424938566820315486507444202022408003879118465761273916755290898112991525546114191064022991329724370064632569903856189236177894007766690782630247443895358893983735822824243487181851098787271270256780891094405121947631088729917398317652320497765101790132679171889

n19 = 26809700251171279102974962949184411136459372267620535198421449833298448092580497485301953796619185339316064387798092220298630428207556482805739803420279056191194360049651767412572609187680508073074653291350998253938793269214230457117194434853888765303403385824786231859450351212449404870776320297419712486574804794325602760347306432927281716160368830187944940128907971027838510079519466846176106565164730963988892400240063089397720414921398936399927948235195085202171264728816184532651138221862240969655185596628285814057082448321749567943946273776184657698104465062749244327092588237927996419620170254423837876806659
c19 = 386213556608434013769864727123879412041991271528990528548507451210692618986652870424632219424601677524265011043146748309774067894985069288067952546139416819404039688454756044862784630882833496090822568580572859029800646671301748901528132153712913301179254879877441322285914544974519727307311002330350534857867516466612474769753577858660075830592891403551867246057397839688329172530177187042229028685862036140779065771061933528137423019407311473581832405899089709251747002788032002094495379614686544672969073249309703482556386024622814731015767810042969813752548617464974915714425595351940266077021672409858645427346

n = [n0,n1,n2,n3,n4,n5,n6,n7,n8,n9,n10,n11,n12,n13,n14,n15,n16,n17,n18,n19]
c = [c0,c1,c2,c3,c4,c5,c6,c7,c8,c9,c10,c11,c12,c13,c14,c15,c16,c17,c18,c19]

for i in range(len(n)):
    for j in range(len(n)):
        if(i!=j):
            t=GCD(n[i],n[j])
            if t!=1:
                p=t
                q=n[i]//p
                d=inverse(e,(p-1)*(q-1))
                m=pow(c[i],d,n[i])
                print(long_to_bytes(m))

第二种情况

中国剩余定理，会有很多组同余式子

然后构造成一个式子

C ≡ me (mod  N)N = lcm(n1, n2, n3)（求最小公倍数）

实际上就是辗转相除法的思想

1
2
3
4
5
6
7
import libnum
import gmpy2
def rsa_gb_def(c,n,e):
    m1 = libnum.solve_crt(c,n)
    m,s =gmpy2.iroot(m1, e)
    m=int(m)
    return m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
from Crypto.Util.number import*
import gmpy2

def Get_Mi(m_list,m):               #求衍数
    M_list = []
    for mi in m_list:
        M_list.append(m // mi)
    return M_list

def Get_resMi(M_list,m_list):       #求乘率
    resM_list = []
    for i in range(len(M_list)):
        resM_list.append(gmpy2.invert(M_list[i],m_list[i]))
    return resM_list

def Get_result(a_list):
    M_list = Get_Mi(m_list,m)
    resM_list = Get_resMi(M_list,m_list)
    result = 0
    for i in range(len(M_list)):
        result += M_list[i]*resM_list[i]*a_list[i]
    result %= m
    return result

欧拉函数的计算

  1. n = 1, 则ϕ(n) = 1
  2. n是素数, 则ϕ(n) = n − 1
  3. n = pr(p为素数, r为大于等于1的整数), 则ϕ(n) = pr − 1(p − 1)
  4. , 则

共享素数

两个素数有共同的公因子，gcd求公约数就好了

1
GCD(n1,n2)

dp泄露

第一种情况

∴ dp ≡ d (mod  p − 1)

左右同乘e得 dp × e ≡ d × e (mod  p − 1) 即 d × e = k1(p − 1) + dp × e

∴ d × e ≡ 1 (mod  ϕ(n))

∴ d × e = k2(p − 1)(q − 1) + 1

∴ k1(p − 1) + dp × e = k2(p − 1)(q − 1) + 1

化简得 dp × e = (p − 1)[k2(q − 1) − k1] + 1

∴ dp < p − 1

∴ 0 < k2(q − 1) − k1

遍历i ∈ (0, e)的所有值, 如果dp × e − 1能够整除i, 我们就可以求得p − 1

1
2
3
4
e = 65537
n = 248254007851526241177721526698901802985832766176221609612258877371620580060433101538328030305219918697643619814200930679612109885533801335348445023751670478437073055544724280684733298051599167660303645183146161497485358633681492129668802402065797789905550489547645118787266601929429724133167768465309665906113
dp = 905074498052346904643025132879518330691925174573054004621877253318682675055421970943552016695528560364834446303196939207056642927148093290374440210503657
c = 140423670976252696807533673586209400575664282100684119784203527124521188996403826597436883766041879067494280957410201958935737360380801845453829293997433414188838725751796261702622028587211560353362847191060306578510511380965162133472698713063592621028959167072781482562673683090590521214218071160287665180751
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
from Crypto.Util.number import *
e = 65537
n = 248254007851526241177721526698901802985832766176221609612258877371620580060433101538328030305219918697643619814200930679612109885533801335348445023751670478437073055544724280684733298051599167660303645183146161497485358633681492129668802402065797789905550489547645118787266601929429724133167768465309665906113
dp = 905074498052346904643025132879518330691925174573054004621877253318682675055421970943552016695528560364834446303196939207056642927148093290374440210503657

c = 140423670976252696807533673586209400575664282100684119784203527124521188996403826597436883766041879067494280957410201958935737360380801845453829293997433414188838725751796261702622028587211560353362847191060306578510511380965162133472698713063592621028959167072781482562673683090590521214218071160287665180751


for i in range(1,e):                  
    if(dp*e-1)%i == 0:
        if n%(((dp*e-1)//i)+1) == 0:   
            p=((dp*e-1)//i)+1
            q=n//(((dp*e-1)//i)+1)
            phi=(q-1)*(p-1)            
            d=inverse(e,phi)   
            m=pow(c,d,n)              
            print(long_to_bytes(m))

第二种情况

e很大的dp泄露

欧拉降幂

ab (mod  c) = ab (mod  φ(c)) + φ(c) (mod  c)

adpe − a ≡ 0 (mod  p)

所以有(adpe − a)|p

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
from Crypto.Util.number import *
from gmpy2 import *
n = 
e = 
c = 
dp = 
a = 
p = gcd(pow(m, e*dp, n) - a, n)
q = n // p
d = invert(e, (p - 1) * (q - 1))
m = pow(c, d, n)
print(long_to_bytes(m))

第三种情况

dp高位泄露 如何e不是很大，爆破即可

1
2
3
for k in range():
    if (e*(dp_high+x)+k-1)%p==0:
        dp=dp_high+x

如果e很大，那么就需要二元copper攻击

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
#sage
def small_roots(f, bounds, m=1, d=None):#f为多项式，Bounds为所需要的位数，m为移位（shifts），d 为多项式中的最高幂。
    if not d:
        d = f.degree()
        print(d)
    R = f.base_ring()
    N = R.cardinality()
    f /= f.coefficients().pop(0)
    f = f.change_ring(ZZ)
    G = Sequence([], f.parent())
    for i in range(m + 1):
        base = N ^ (m - i) * f ^ i
        for shifts in itertools.product(range(d), repeat=f.nvariables()):
            g = base * prod(map(power, f.variables(), shifts))
            G.append(g)
    B, monomials = G.coefficient_matrix()
    monomials = vector(monomials)
    factors = [monomial(*bounds) for monomial in monomials]
    for i, factor in enumerate(factors):
        B.rescale_col(i, factor)
    B = B.dense_matrix().LLL()
    B = B.change_ring(QQ)
    for i, factor in enumerate(factors):
        B.rescale_col(i, 1 / factor)
    H = Sequence([], f.parent().change_ring(QQ))
    for h in filter(None, B * monomials):
        H.append(h)
        I = H.ideal()
        if I.dimension() == -1:
            H.pop()
        elif I.dimension() == 0:
            roots = []
            for root in I.variety(ring=ZZ):
                root = tuple(R(root[var]) for var in f.variables())
                roots.append(root)
            return roots
    return []

dp,dq泄露

如果题目给出 p, q, dp, dq, 那么直接在模 p 和模 q 下求解即可. 如果模不够大, 再用中国剩余定理即可

e和phi不互素

gcd (e, φ(n)) ≠ 1时， e 与 不互素

计算 的模逆 d′

则 cd′ ≡ mgcd (e, φ(n)) (mod  n)。 此时我们就要对t = gcd (e, φ(n))的值进行一个判断

第一种情况

这个值过小的时候，那么我们可以直接对明文开t次方即可（mt < n） 第二种情况 如果这个值比较大，那么我们此时要用有限域开方的方式来解决这个问题

有限域开根 分别对密文在模p和模q下进行开方，然后用中国剩余定理求线性同余式

AMM算法（e=65537）

这种情况一般是在e等于65537时候需要用的

先贴个板子，原理后续再补充

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
def AMM(o, r, q):
    g = GF(q)
    o = g(o)
    p = g(random.randint(1, q))
    while p ^ ((q-1) // r) == 1:
        p = g(random.randint(1, q))
    t = 0
    s = q - 1
    while s % r == 0:
        t += 1
        s = s // r
    k = 1
    while (k * s + 1) % r != 0:
        k += 1
    alp = (k * s + 1) // r
    a = p ^ (r**(t-1) * s)
    b = o ^ (r*alp - 1)
    c = p ^ s
    h = 1
    for i in range(1, t):
        d = b ^ (r^(t-1-i))
        if d == 1:
            j = 0
        else:
            j = - discrete_log(d, a)
        b = b * (c^r)^j
        h = h * c^j
        c = c^r
    result = o^alp * h
    return result

维娜攻击

方法采用的是连分数的思想，是将式子构造成形如 通过这样近似的构造来不断逼近所需要的数的位次

原理 勒让德定理

对于有理数α，若整数c, d满足 那么就是α的一个有理近似. 那么此时我们需要的就是证明 是 的一个有理近似 所以此时的d要满足的就是 特征 一般情况下维娜攻击的特征就是满足说生成的e很大并且e是由d生成的结果

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
def continuedFra(x, y):
    """计算连分数
    :param x: 分子
    :param y: 分母
    :return: 连分数列表
    """
    cf = []
    while y:
        cf.append(x // y)
        x, y = y, x % y
    return cf


def gradualFra(cf):
    """计算传入列表最后的渐进分数
    :param cf: 连分数列表
    :return: 该列表最后的渐近分数
    """
    numerator = 0
    denominator = 1
    for x in cf[::-1]:
        # 这里的渐进分数分子分母要分开
        numerator, denominator = denominator, x * denominator + numerator
    return numerator, denominator


def solve_pq(a, b, c):
    """使用韦达定理解出pq，x^2−(p+q)∗x+pq=0
    :param a:x^2的系数
    :param b:x的系数
    :param c:pq
    :return:p，q
    """
    par = gmpy2.isqrt(b * b - 4 * a * c)
    return (-b + par) // (2 * a), (-b - par) // (2 * a)


def getGradualFra(cf):
    """计算列表所有的渐近分数
    :param cf: 连分数列表
    :return: 该列表所有的渐近分数
    """
    gf = []
    for i in range(1, len(cf) + 1):
        gf.append(gradualFra(cf[:i]))
    return gf


def wienerAttack(e, n):
    """
    :param e:
    :param n:
    :return: 私钥d
    """
    cf = continuedFra(e, n)
    gf = getGradualFra(cf)
    for d, k in gf:
        if k == 0: continue
        if (e * d - 1) % k != 0:
            continue
        phi = (e * d - 1) // k
        p, q = solve_pq(1, n - phi + 1, n)
        if p * q == n:
            return d

在sage中我们有

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
#sage
def wienerAttack(n, e):
    cf = continued_fraction(e / n)
    convers = cf.convergents()
    for pkd in convers:
        pk, pd = pkd.as_integer_ratio()
        if pk == 0:
            continue
        if (e * pd - 1) % pk != 0:
            continue
        pphi = (e * pd - 1) // pk
        p = var('p', domain=ZZ)
        roots = solve(p ** 2 + (pphi - n - 1) * p + n, p)
        if len(roots) == 2:
            pp, pq = roots
            if pp * pq == n:
                return pp, pq, pd
    raise ValueError('Could not factor N!')
n = ...
e = ...
c = ...
p, q, d = wienerAttack(n, e)
m = pow(c, d, n)

扩展维娜攻击

先贴一下脚本，后续原理明白了再写

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
def wienerAttack2(N, e1, e2):
    a = 5/14
    D = diagonal_matrix(ZZ, [N, int(N^(1/2)), int(N^(1+a)), 1])
    M = matrix(ZZ, [[1, -N, 0, N^2], [0, e1, -e1, -e1*N], [0, 0, e2, -e2*N], [0, 0, 0, e1*e2]])*D
    L = M.LLL()
    B = vector(ZZ, L[0])
    A = B * M^(-1)
    phi = int(A[1]/A[0]*e1)
    d1 = inverse_mod(e1, phi)
    d2 = inverse_mod(e2, phi)
    p = var('p', domain=ZZ)
    roots = solve(p ** 2 + (pphi - N - 1) * p + N, p)
    if len(roots) == 2:
        # possible p, q
        p, q = roots
        if p * q == N:
            return p, q, d1, d2
    raise ValueError('Could not factor N!')
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
e1 = 5077048237811969427473111225370876122528967447056551899123613461792688002896788394304192917610564149766252232281576990293485239684145310876930997918960070816968829150376875953405420809586267153171717496198336861089523701832098322284501931142889817575816761705044951705530849327928849848158643030693363143757063220584714925893965587967042137557807261154117916358519477964645293471975063362050690306353627492980861008439765365837622657977958069853288056307253167509883258122949882277021665317807253308906355670472172346171177267688064959397186926103987259551586627965406979118193485527520976748490728460167949055289539
e2 = 12526848298349005390520276923929132463459152574998625757208259297891115133654117648215782945332529081365273860316201130793306570777735076534772168999705895641207535303839455074003057687810381110978320988976011326106919940799160974228311824760046370273505511065619268557697182586259234379239410482784449815732335294395676302226416863709340032987612715151916084291821095462625821023133560415325824885347221391496937213246361736361270846741128557595603052713612528453709948403100711277679641218520429878897565655482086410576379971404789212297697553748292438183065500993375040031733825496692797699362421010271599510269401
e3 = 12985940757578530810519370332063658344046688856605967474941014436872720360444040464644790980976991393970947023398357422203873284294843401144065013911463670501559888601145108651961098348250824166697665528417668374408814572959722789020110396245076275553505878565603509466220710219260037783849276475397283421068716088638186994778153542817681963059581651103563578804145156157584336712678882995685632615686853980176047683326974283896343322981521150211317597571554542488921290158122634140571148036732893808064119048328855134054709120877895941670166421664806186710346824494054783025733475898081247824887967550418509038276279
c = 1414176060152301842110497098024597189246259172019335414900127452098233943041825926028517437075316294943355323947458928010556912909139739282924255506647305696872907898950473108556417350199783145349691087255926287363286922011841143339530863300198239231490707393383076174791818994158815857391930802936280447588808440607415377391336604533440099793849237857247557582307391329320515996021820000355560514217505643587026994918588311127143566858036653315985177551963836429728515745646807123637193259859856630452155138986610272067480257330592146135108190083578873094133114440050860844192259441093236787002715737932342847147399
n = 17853303733838066173110417890593704464146824886316456780873352559969742615755294466664439529352718434399552818635352768033531948009737170697566286848710832800426311328560924133698481653594007727877031506265706341560810588064209681809146597572126173303463125668183837840427667101827234752823747483792944536893070188010357644478512143332014786539698535220139784440314481371464053954769822738407808161946943216714729685820896972467020893493349051243983390018762076812868678098172416465691550285372846402991995794349015838868221686216396597327273110165922789814315858462049706255254066724012925815100434953821856854529753

L = matrix(ZZ, [
    [1, -n, 0, n**2, 0, 0, 0, -n**3],
    [0, e1, -e1, -n * e1, -e1, 0, n * e1, n**2 * e1],
    [0, 0, e2, -n * e2, 0, n * e2, 0, n**2 * e2],
    [0, 0, 0, e1 * e2, 0, -e1 * e2, -e1 * e2, -n * e1 * e2],
    [0, 0, 0, 0, e3, -n * e3, -n * e3, n**2 * e3],
    [0, 0, 0, 0, 0, e1 * e3, 0, -n * e1 * e3],
    [0, 0, 0, 0, 0, 0, e2 * e3, -n * e2 * e3],
    [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, e1 * e2 * e3]
])
# alpha = 768 / 2048
alpha = 2 / 5
D = diagonal_matrix(ZZ, [floor(pow(n, 3 / 2)), n, floor(pow(n, alpha + 3/2)), floor(pow(n, 1/2)), floor(pow(n, alpha + 3/2)), floor(pow(n, alpha + 1)), floor(pow(n, alpha + 1)), 1])
M = L * D
B = M.LLL()
b = vector(ZZ, B[0])
A = b * M^(-1)
phi = floor(A[1] / A[0] * e1)

d = inverse_mod(0x10001, phi)
m = pow(c, d, n)
flag = long_to_bytes(int(m))
print(flag)

Rabin

密钥生成

选取两个大素数p, q，并且满足 p ≡ 3 (mod  4),  q ≡ 3 (mod  4) 即p, q都是4k + 3​形式的素数。

加密 c ≡ m2 (mod  n) 解密 此时由二次剩余得

开根号得 ，所以 同理得到

然后我们构造两个同余式 然后用中国剩余定理解决即可

1
2
3
4
5
6
7
8
inv_p = gmpy2.invert(p, q)
inv_q = gmpy2.invert(q, p)
mp = pow(c, (p + 1) // 4, p)
mq = pow(c, (q + 1) // 4, q)
a = (inv_p * p * mq + inv_q * q * mp) % n
b = n - int(a)
c = (inv_p * p * mq - inv_q * q * mp) % n
d = n - int(c)

或者构造两个式子有限域开根然后再中国剩余定理也可以解决

高次rabin

多次调用求解rabin解密

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
def rabin(c):
    mp = pow(c, (p + 1) // 4, p)
    mq = pow(c, (q + 1) // 4, q)

    yp = inverse(p,q)
    yq = inverse(q,p)

    r = (yp * p * mq + yq * q * mp) % n
    r_ = n - r
    s = (yp * p * mq - yq * q * mp) % n
    s_ = n - s
    return r,r_,s,s_